الجبر الخطي الأمثلة

أوجد القيم الذاتية/المتجهات الذاتية [[5,0],[2,3]]
[5023][5023]
خطوة 1
أوجِد القيم الذاتية.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI2)p(λ)=محدِّد(AλI2)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 22 هي المصفوفة المربعة 2×22×2 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[1001][1001]
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI2)p(λ)=محدِّد(AλI2).
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة AA التي تساوي [5023][5023].
p(λ)=محدِّد([5023]-λI2)p(λ)=محدِّد([5023]λI2)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I2I2 التي تساوي [1001][1001].
p(λ)=محدِّد([5023]-λ[1001])p(λ)=محدِّد([5023]λ[1001])
p(λ)=محدِّد([5023]-λ[1001])p(λ)=محدِّد([5023]λ[1001])
خطوة 1.4
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λλ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ1λ0λ0λ1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -11 في 11.
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ-λ0-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([5023]+[λλ0λ0λ1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ0λ0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 00 في -11.
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ0λ-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ0λλ0λ1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 00 في λλ.
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ0λ0λ1])
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ0λ0λ1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ0λ0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 00 في -11.
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ00λ-λ1])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ00λλ1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 00 في λλ.
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ00-λ1])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ00λ1])
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ00-λ1])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ00λ1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -11 في 11.
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ00λ])
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ00λ])
p(λ)=محدِّد([5023]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([5023]+[λ00λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[5-λ0+02+03-λ]p(λ)=محدِّد[5λ0+02+03λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.4.3.1
أضف 00 و00.
p(λ)=محدِّد[5-λ02+03-λ]p(λ)=محدِّد[5λ02+03λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف 22 و00.
p(λ)=محدِّد[5-λ023-λ]p(λ)=محدِّد[5λ023λ]
p(λ)=محدِّد[5-λ023-λ]p(λ)=محدِّد[5λ023λ]
p(λ)=محدِّد[5-λ023-λ]p(λ)=محدِّد[5λ023λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×22×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(5-λ)(3-λ)-20
خطوة 1.5.2
بسّط المحدد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.1
وسّع (5-λ)(3-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=5(3-λ)-λ(3-λ)-20
خطوة 1.5.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=53+5(-λ)-λ(3-λ)-20
خطوة 1.5.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=53+5(-λ)-λ3-λ(-λ)-20
p(λ)=53+5(-λ)-λ3-λ(-λ)-20
خطوة 1.5.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1.1
اضرب 5 في 3.
p(λ)=15+5(-λ)-λ3-λ(-λ)-20
خطوة 1.5.2.1.2.1.2
اضرب -1 في 5.
p(λ)=15-5λ-λ3-λ(-λ)-20
خطوة 1.5.2.1.2.1.3
اضرب 3 في -1.
p(λ)=15-5λ-3λ-λ(-λ)-20
خطوة 1.5.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=15-5λ-3λ-1-1λλ-20
خطوة 1.5.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=15-5λ-3λ-1-1(λλ)-20
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=15-5λ-3λ-1-1λ2-20
p(λ)=15-5λ-3λ-1-1λ2-20
خطوة 1.5.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=15-5λ-3λ+1λ2-20
خطوة 1.5.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=15-5λ-3λ+λ2-20
p(λ)=15-5λ-3λ+λ2-20
خطوة 1.5.2.1.2.2
اطرح 3λ من -5λ.
p(λ)=15-8λ+λ2-20
p(λ)=15-8λ+λ2-20
خطوة 1.5.2.1.3
اضرب -2 في 0.
p(λ)=15-8λ+λ2+0
p(λ)=15-8λ+λ2+0
خطوة 1.5.2.2
أضف 15-8λ+λ2 و0.
p(λ)=15-8λ+λ2
خطوة 1.5.2.3
انقُل 15.
p(λ)=-8λ+λ2+15
خطوة 1.5.2.4
أعِد ترتيب -8λ وλ2.
p(λ)=λ2-8λ+15
p(λ)=λ2-8λ+15
p(λ)=λ2-8λ+15
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
λ2-8λ+15=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.1
حلّل λ2-8λ+15 إلى عوامل باستخدام طريقة AC.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.1.1
ضع في اعتبارك الصيغة x2+bx+c. ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما c ومجموعهما b. في هذه الحالة، حاصل ضربهما 15 ومجموعهما -8.
-5,-3
خطوة 1.7.1.2
اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.
(λ-5)(λ-3)=0
(λ-5)(λ-3)=0
خطوة 1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
λ-5=0
λ-3=0
خطوة 1.7.3
عيّن قيمة العبارة λ-5 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.3.1
عيّن قيمة λ-5 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-5=0
خطوة 1.7.3.2
أضف 5 إلى كلا المتعادلين.
λ=5
λ=5
خطوة 1.7.4
عيّن قيمة العبارة λ-3 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 1.7.4.1
عيّن قيمة λ-3 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-3=0
خطوة 1.7.4.2
أضف 3 إلى كلا المتعادلين.
λ=3
λ=3
خطوة 1.7.5
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة (λ-5)(λ-3)=0 صحيحة.
λ=5,3
λ=5,3
λ=5,3
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
خطوة 3
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=5.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([5023]-5[1001])
خطوة 3.2
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.1.1
اضرب -5 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[5023]+[-51-50-50-51]
خطوة 3.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.1.2.1
اضرب -5 في 1.
[5023]+[-5-50-50-51]
خطوة 3.2.1.2.2
اضرب -5 في 0.
[5023]+[-50-50-51]
خطوة 3.2.1.2.3
اضرب -5 في 0.
[5023]+[-500-51]
خطوة 3.2.1.2.4
اضرب -5 في 1.
[5023]+[-500-5]
[5023]+[-500-5]
[5023]+[-500-5]
خطوة 3.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[5-50+02+03-5]
خطوة 3.2.3
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.2.3.1
اطرح 5 من 5.
[00+02+03-5]
خطوة 3.2.3.2
أضف 0 و0.
[002+03-5]
خطوة 3.2.3.3
أضف 2 و0.
[0023-5]
خطوة 3.2.3.4
اطرح 5 من 3.
[002-2]
[002-2]
[002-2]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=5.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[0002-20]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.2.1
Swap R2 with R1 to put a nonzero entry at 1,1.
[2-20000]
خطوة 3.3.2.2
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,1 a 1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 3.3.2.2.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,1 a 1.
[22-2202000]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R1.
[1-10000]
[1-10000]
[1-10000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-y=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[yy]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|yR}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
خطوة 4
Find the eigenvector using the eigenvalue λ=3.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([5023]-3[1001])
خطوة 4.2
بسّط.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.1.1
اضرب -3 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[5023]+[-31-30-30-31]
خطوة 4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.1.2.1
اضرب -3 في 1.
[5023]+[-3-30-30-31]
خطوة 4.2.1.2.2
اضرب -3 في 0.
[5023]+[-30-30-31]
خطوة 4.2.1.2.3
اضرب -3 في 0.
[5023]+[-300-31]
خطوة 4.2.1.2.4
اضرب -3 في 1.
[5023]+[-300-3]
[5023]+[-300-3]
[5023]+[-300-3]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[5-30+02+03-3]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.2.3.1
اطرح 3 من 5.
[20+02+03-3]
خطوة 4.2.3.2
أضف 0 و0.
[202+03-3]
خطوة 4.2.3.3
أضف 2 و0.
[2023-3]
خطوة 4.2.3.4
اطرح 3 من 3.
[2020]
[2020]
[2020]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=3.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[200200]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,1 a 1.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,1 a 1.
[220202200]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[100200]
[100200]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
انقر لعرض المزيد من الخطوات...
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1002-210-200-20]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[100000]
[100000]
[100000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[0y]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[01]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{y[01]|yR}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[01]}
{[01]}
{[01]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[11],[01]}
(
(
)
)
|
|
[
[
]
]
{
{
}
}
A
A
7
7
8
8
9
9
B
B
4
4
5
5
6
6
/
/
^
^
×
×
>
>
π
π
1
1
2
2
3
3
-
-
+
+
÷
÷
<
<
!
!
,
,
0
0
.
.
%
%
=
=
 [x2  12  π  xdx ]